Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 13
Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida
Passo 1
Ahhhh... repara que temos um erro de digitação porque é:
Porque se fosse não daria pra resolver. (e na versão em inglês está sem a linha. Daí dá certinha a resposta do final do livro) =S
Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.
Suponha uma equação dada da seguinte forma
Dizemos que ela é exata, se e somente se
Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial
Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...
Passo 2
Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.
Vamos reescrever nosso problema como
Assim usando a ideia de variáveis separáveis
Assim temos que
Mostrando que nossa equação é exata, logo vamos na busca da solução, conhecida como função potencial.
Passo 3
Agora queremos achar quem é nossa função potencial
Imagine que tenhamos uma função , que quando derivamos em cada direção teremos
E
Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação
A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.
A integral da direita é tranquila, certo? Ou talvez não seja tão tranquila.
Se derivarmos, deveríamos obter, ou seja
Assim temos
E a pergunta é, quanto vale ? Basta integrar, não? Assim teremos
O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é
Passo 4
Agora vamos buscar algo mais aprofundado. Já que se trata de um problema de valor inicial, vamos definir quanto valo nossa constante
Já definimos que a equação solução da nossa equação diferencial é
Tomando
Implica que
Assim agora é importante...acompanhe o raciocínio haha
Fazemos
Os 3 primeiros termos nos dão um quadrado perfeito, ou seja
Assim teremos que