Enunciado

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida

2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3

Passo 1

Ahhhh... repara que temos um erro de digitação porque é:

2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3

Porque se fosse x ' não daria pra resolver. (e na versão em inglês está sem a linha. Daí dá certinha a resposta do final do livro) =S

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

2 y - x d y = - 2 x - y d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

2 x - y d x + 2 y - x d y = 0

Assim temos que

d d y 2 x - y - d d x 2 y - x

= - 1 - ( - 1 ) = 0

Mostrando que nossa equação é exata, logo vamos na busca da solução, conhecida como função potencial.

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = 2 x - y

E

d d y Y x , y = 2 y - x

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ 2 x - y d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? Ou talvez não seja tão tranquila.

Y x , y = x 2 - x y + C y

Se derivarmos, deveríamos obter 2 y - x , ou seja

d d y Y x , y = d d y x 2 - x y + C y

= - x + C ' y = 2 y - x

Assim temos

C ' t = 2 y

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = y 2 + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = x 2 - x y + y 2 + C

Passo 4

Agora vamos buscar algo mais aprofundado. Já que se trata de um problema de valor inicial, vamos definir quanto valo nossa constante

Já definimos que a equação solução da nossa equação diferencial é

x 2 - x y + y 2 = C

Tomando y 1 = 3

Implica que

1 2 - 1 3 + 3 2 = C → C = 7

Assim agora é importante...acompanhe o raciocínio haha

Fazemos

y 2 - x y + x 2 = y 2 - x y + x 2 4 + 3 x 2 4 = 7

Os 3 primeiros termos nos dão um quadrado perfeito, ou seja

y - x 2 2 = 7 - 3 x 2 4 = 28 - 3 x 2 4

Assim teremos que

y = ( x - 28 - 3 x 2 ) / 2

Resposta

y = ( x - 28 - 3 x 2 ) / 2

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