Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 49
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada.
Passo 1
Para resolvermos, vamos aplicar o método encontrado no exercício anterior, no qual a equação adjunta precisa satisfazer a seguinte equação:
Após vermos se a condição é satisfeita, iremos montar nossa equação adjunta.
Passo 2
Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos encontrar os coeficientes. Temos que nossa equação já está na forma perfeita para destacarmos os coeficientes. Ficamos com
Se manipularmos cada termo individualmente, vamos ter que
E isso obrigatoriamente deve ser igual a zero. Como sempre irá existir um para que essa relação seja satisfeita, temos que essa equação adjunta existe e é dada por
Resposta
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Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? 1 - x ⋅ cot x ⋅ y ' ' - x ⋅ y '
Para a equação linear de segunda ordem P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0 , mostre que a adjunta da equação adjunta é a equação original.
Mostre que, se p é diferenciavel e p t0 , então o wronskiano W t de duas soluções de p t y ' ' + q t y = 0 é W t = c / p t , em que c é uma constante.
Se y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial t ⋅ y ' ' + 2 ⋅ y ' + t ⋅ e t ⋅ y = 0 e se W y 1 ,y 2 1 = 2 , encontre o valor de W y 1 ,y 2 5 .