Enunciado

Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada.

y ' ' - x y = 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o método encontrado no exercício anterior, no qual a equação adjunta precisa satisfazer a seguinte equação:

P μ ' ' + 2 P ' - Q μ ' + P ' ' - Q ' + R μ = 0

Após vermos se a condição é satisfeita, iremos montar nossa equação adjunta.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos encontrar os coeficientes. Temos que nossa equação já está na forma perfeita para destacarmos os coeficientes. Ficamos com

P x = 1

Q x = 0

R x = - x

Se manipularmos cada termo individualmente, vamos ter que

2 P ' - Q = 0 + 0 = 0

P ' ' - Q ' + R = 0 + 0 - x = - x

E isso obrigatoriamente deve ser igual a zero. Como sempre irá existir um μ para que essa relação seja satisfeita, temos que essa equação adjunta existe e é dada por

1 ⋅ μ ' ' + 0 ⋅ μ ' - x ⋅ μ = 0

Resposta

μ ' ' + 0 ⋅ μ ' - x ⋅ μ = 0

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Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? 1 - x ⋅ cot ⁡ x ⋅ y ' ' - x ⋅ y '
Para a equação linear de segunda ordem P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0 , mostre que a adjunta da equação adjunta é a equação original.
Mostre que, se p é diferenciavel e p t0 , então o wronskiano W t de duas soluções de p t y ' ' + q t y = 0 é W t = c / p t , em que c é uma constante.
Se y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial t ⋅ y ' ' + 2 ⋅ y ' + t ⋅ e t ⋅ y = 0 e se W y 1 ,y 2 1 = 2 , encontre o valor de W y 1 ,y 2 5 .