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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 47

Encontre a soma de cada série nos exercícios 41-48. ∑ n = 1 ∞ 1 l n ⁡ ( n + 2 ) - 1 l n ⁡ ( n + 1 )

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Cálculo, vamos lá?Primeiramente, precisamos entender que estamos lidando com somatórios da série, logo, de certa forma é algo que nos dará bastante trabalho. Entretanto, não existe um jeito “certo” de realizar todos os cálculos, cada exercício exigirá uma especificidade.Mas, chega de enrolação e vamos lá para os exercícios, preste bem atenção na resolução, volto a repetir, não existe apenas uma maneira de realizar o exercício.

Passo 2

Agora vamos montar a série, vem comigo! ∑ n = 1 ∞ 1 l n ⁡ ( n + 2 ) - 1 l n ⁡ ( n + 1 )

Para resolvermos a série, vamos abrir o seu somatório e logo em seguida realizar uma mudança de variável e por fim, tomar o limite para que possamos encontrar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos resolver a série, chega aí!

∑ n = 1 ∞ 1 l n ⁡ ( n + 2 ) - 1 l n ⁡ ( n + 1 ) Vamos abrir o seu somatório e realizar a mudança de variável, logo em seguida: s k = 1 ln ⁡ 3 - 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 4 - 1 ln ⁡ 3 + 1 ln ⁡ 5 - 1 ln ⁡ 4 + … + 1 l n ⁡ ( k + 1 ) + 1 ln ⁡ k + 1 ln ⁡ ( k + 2 ) + 1 ln ⁡ ( k + 1 )

s k = - 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡   ( k + 2 ) Encontrando esse resultado, agora iremos tomar o limite em função de s k . lim k → ∞ ⁡ s k lim k → ∞ ⁡ - 1 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡   ( k + 2 ) l i m k → ∞ = - 1 ln ⁡ 2 Questão resolvida!!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

- 1 ln ⁡ 2

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