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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 48

Encontre a soma de cada série nos exercícios 41-48. ∑ n = 1 ∞ ( t g - 1 n - t g - 1 n + 1 )

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Cálculo, vamos lá?Primeiramente, precisamos entender que estamos lidando com somatórios da série, logo, de certa forma é algo que nos dará bastante trabalho. Entretanto, não existe um jeito “certo” de realizar todos os cálculos, cada exercício exigirá uma especificidade.Mas, chega de enrolação e vamos lá para os exercícios, preste bem atenção na resolução, volto a repetir, não existe apenas uma maneira de realizar o exercício.

Passo 2

Agora vamos montar a série, vem comigo! ∑ n = 1 ∞ ( t g - 1 n - t g - 1 n + 1 )

Para resolvermos a série, vamos abrir o seu somatório e logo em seguida realizar uma mudança de variável e por fim, tomar o limite para que possamos encontrar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos resolver a série, chega aí!

∑ n = 1 ∞ ( t g - 1 n - t g - 1 n + 1 ) Vamos abrir o seu somatório e realizar a mudança de variável, logo em seguida: s k = t g - 1 1 - t g - 1 2 + t g - 1 2 - t g - 1 3 + … + t g - 1 k - 1 - t g - 1 k + t g - 1 k - t g - 1 k + 1 s k = t g - 1 1 - t g - 1 k + 1

s k = t g - 1 1 Encontrando esse resultado, agora iremos tomar o limite em função de s k . lim k → ∞ ⁡ s k lim k → ∞ ⁡ t g - 1 1 l i m k → ∞ = - π 4 Questão resolvida!!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

- π 4

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Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ t g hn n 2