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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.5 - Ex. 6

Encontre a temperatura no estado estacionário em uma barra semi-infinita 0

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

u 1 , z = 0

u r , 0 = f ( r )

Para a função, temos que:

R = c 1   J 0   λ r + c 2   Y 0   λ r

Z = k 1 e - λ z + k 2 e λ z

Θ ' ' + n ² Θ = 0

Z ' ' + λ ² Z = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

u r , z = ∑ c n J 0 λ n r e - λ n z

u r , 0 = ∑ c n J 0 λ n r

c n = ∫ r f ( r ) J 0 λ n r d r ∫ r   J 0 2 λ n r d r

Resposta

u r , z = ∑ c n J 0 λ n r e - λ n z

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Encontre a temperatura no estado estacionário u(ρ, φ) na esfera de raio unitário se a temperatura for independente de θ e satisfizer a condição de contorno:
Considere o fluxo de calor em um cilindro de comprimento infinito e raio 1: 0 ≤ r e as seguintes condições inicial e de contorno:Mostre que em que J0(λn) = 0. Encontre uma fórmula para cn.