Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.5 - Ex. 10

Encontre a temperatura no estado estacionário u(ρ, φ) na esfera de raio unitário se a temperatura for independente de θ e satisfizer a condição de contorno:

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

u 1 , ϕ = f ϕ

Para a função, temos que:

ρ ²   P ' ' + 2 ρ P ' - μ 2 P = 0  

sin 2 ⁡ ϕ Φ ' ' + sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ Φ ' + μ 2 sin 2 ⁡ ϕ Φ = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

P = c 1 ρ r 1 + c 2 ρ r 2

Como a raiz deve ser positiva, teremos:

r = - 1 + 1 + 4 μ 2 2

u 1 , ϕ = ∑ c n   ρ n   P n cos ⁡ ϕ

u ρ , s = ∑ c n   ρ n   P n s

c n = ∫ f arccos ⁡ s P n s d s ∫ P n 2 s d s

Resposta

u ρ , s = ∑ c n   ρ n   P n s

c n = ∫ f arccos ⁡ s P n s d s ∫ P n 2 s d s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a temperatura no estado estacionário em uma barra semi-infinita 0
Considere o fluxo de calor em um cilindro de comprimento infinito e raio 1: 0 ≤ r e as seguintes condições inicial e de contorno:Mostre que em que J0(λn) = 0. Encontre uma fórmula para cn.