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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.5 - Ex. 1c

Considere a equação de Laplace uxx + uyy = 0 no paralelogramo cujos vértices são (0, 0), (2, 0), (3, 2) e (1, 2). Suponha que a condição de contorno no lado y = 2 é u(x, 2) = f(x) para 1 ≤ x ≤ 3 e que, nos outros três lados, u = 0 (veja a Figura 11.5.1).

Mostre que, no plano ξη, a equação diferencial não tem solução da forma

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

u ξ ,   η = U ξ V η

5 4 U ' ' U + V ' ' V = U ' V ' U V

Para a função, temos que as condições de contorno são homogêneas.

U ξ , 2 = f ξ + 1

U ξ ,   0 = 0

U 0 , η = 0

U 2 , η = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Para a função, temos que as condições de contorno são homogêneas.

U ξ , 2 = f ξ + 1

U ξ ,   0 = 0

U 0 , η = 0

U 2 , η = 0

Resposta

U ξ , 2 = f ξ + 1

U ξ ,   0 = 0

U 0 , η = 0

U 2 , η = 0

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