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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 18

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

f x ,   y = 2 x 3 + 2 y 3 - 9 x 2 + 3 y 2 - 12 y

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!

Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função f x ,   y de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f x ,   y tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.

Então, se uma função f tem um máximo ou mínimo local em a ,   b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então f x = a ,   b = 0 e f y = a ,   b = 0 .

Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função f x ,   y onde tanto f x como f y sejam zero ou onde f x ou f y ou ambas não existam é um ponto crítico de f .

Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:

f x = 6 x 2 - 18 x = 6 x ( x - 3 )

f y = 6 y 2 + 6 y - 12 = 6 ( y 2 + y - 2 )

Passo 2

Quando essas derivadas são nulas, temos:

6 x ( x - 3 ) = 0                     y 2 + y - 2 = 0

Logo temos x = 0 e x = 3 . E para a equação de segundo grau, temos:

y 2 + y - 2 = 0

∆ = 1 - 4 ∙ - 2 = 9

y = - 1 ± 3 2

y ' = 1 y ' ' = - 2

Sendo assim, temos os pontos f 0 ,   1 , f 0 ,   - 2 , f 3 ,   1 e f 3 ,   - 2 .

Passo 3

Com os pontos encontrados no Passo 2, precisamos definir se eles são de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:

  1. f tem um máximo local em a ,   b se f x x < 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  2. f tem um mínimo local em a ,   b se f x x > 0 e f x x f y y - f x y 2 > 0 em a ,   b .
  3. f tem um ponto de sela em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 < 0 em a ,   b .
  4. o teste é inconcludente em a ,   b se f x x f y y - f x y 2 = 0 em a ,   b . Nesse caso, devemos encontrar outra maneira de determinar o comportamento de f em a ,   b .

Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:

f x x = 12 x - 18

f y y = 12 y + 6

f x y = 0

Passo 4

Para os pontos 0 ,   1 e 0 ,   - 2 , temos:

f x x = 12 ∙ 0 - 18 = - 18

Ambos os pontos pode ser um máximo local, mas precisamos confirmar:

  • Para 0 ,   1 :

    • f x x f y y - f x y 2 = - 18 ∙ 12 + 6 - 0 2 = - 324

    Como f x x f y y - f x y 2 < 0 , é um ponto inconclusivo.

  • Para 0 ,   - 2 :

    • f x x f y y - f x y 2 = - 18 ∙ 12 ∙ - 2 + 6 - 0 2 = 324

    Como o valor encontrado é maior que zero, podemos fizer que 0 ,   - 2 é um máximo local.

    Passo 5

    E para os pontos 3 ,   1 e 3 ,   - 2 , temos:

    f x x = 12 ∙ 3 - 18 = 18

    Ambos os pontos pode ser um mínimo local, mas precisamos confirmar:

  • Para 3 ,   1 :

    • f x x f y y - f x y 2 = 18 ∙ 12 + 6 - 0 2 = 324

    Como o valor encontrado é maior que zero, podemos fizer que 3 ,   1 é um mínimo local.

  • Para 3 ,   - 2 :

f x x f y y - f x y 2 = 18 ∙ 12 ∙ - 2 + 6 - 0 2 = - 324

Como f x x f y y - f x y 2 < 0 , é um ponto inconclusivo.

Ufa, finalmente acabamos esse exercício! Espero que eu tenha conseguido te ajudar, até mais!

Resposta

  • f 0 ,   - 2 máximo local;
  • f 3 ,   1 mínimo local.

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