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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 1

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.

1 .   f x , y = x 2 + x y + y 2 + 3 x - 3 y + 4

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, para essa bateria de exercícios nós temos que levar em conta duas questões, a primeira para encontrar o ponto crítico, é semelhante ao que fazemos para uma váriavel, temos que derivar em função de cada uma das variáveis e igualar o resultado a zero, encontrando para cada um o ponto, que será o máximo ou mínimo.

f x x , y = 2 x + y + 3 = 0

f y x , y = x + 2 y - 3 = 0

Logo, resolvendo o sistema, temos a solução:

∴ y = 3

x = - 3

Passo 2

Agora para saber qual vai ser a avaliação que deverá ser feita temos que levar em conta as seguintes desigualdades em ( a , b ) :

f x x < 0   e   f x x f y y - f x y 2 > 0 ⇒ m á x i m o   l o c a l  

f x x > 0   e   f x x f y y - f x y 2 > 0 ⇒ m í n i m o   l o c a l

f x x f y y - f x y 2 < 0 ⇒ p o n t o   d e   s e l a

f x x f y y - f x y 2 = 0 ⇒   t e s t e   i n c o n c l u d e n t e .

Passo 3

Calculando a desigualdade temos:

f x x - 3,3 = 2

f y y - 3,3 = 2

f x y - 3,3 = 1

f x x f y y - f x y 2 = 3 > 0

f x x < 0

Daí, concluímos que o ponto de mínimo local é ( - 3,3 ) , tal que:

f - 3,3 = 5

Resposta

Avaliando o resultado do passo 3 concluindo que o ponto de mínimo local é:

f - 3,3 = 5

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