Exercícios de Máximos e Mínimos Globais numa Região Aberta - Lista de Exercícios Resolvida

Caso exista, encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função:

Caso exista, encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função:

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(c) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(e) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(f) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(j) .

Sejam os três primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é , então ). Considere o polinômio .

1. Mostre que admite um extremo local e classifique-o.
2. Sejam o ponto crítico encontrado no item anterior, e . Mostre que para todo , para algum dependente de e .
3. Mostre que é um extremo global.

Dica: Use a letra para mostrar que as imagens de retas em que passam por , são parábolas de mesma concavidade, independente de e .

Uma empresa produz camisas e calças por mês. Cada camisa é vendida por , e cada calça por . O custo total da empresa para produzir e vender camisas e calças é . Admitindo que tudo o que a empresa produz é vendido de fato, determine a produção que maximiza o lucro da empresa, bem como o lucro máximo possível. (Dica: o lucro é o total arrecadado com as vendas menos o custo da produção e venda.)

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(d) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(g) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(h) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(i) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(k) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(o) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(p) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(l) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(m) .

1. (Passo 1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e encontre os pontos críticos das funções abaixo (caso existam).

(Passo 2) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem e monte a matriz Hessiana de .

(Passo 3) Se for possível, classifique os pontos críticos encontrados em pontos de máximo, mínimo ou de sela, usando o critério do sinal do determinante da matriz Hessiana e a derivada segunda de em relação a .

(n) .

Seja

Onde são números reais. Se

Então:

1. é um ponto de mínimo local
2. não é um ponto crítico
3. é um ponto de máximo local
4. é um ponto de sela
5. Nenhuma das demais alternativas

1. Encontre os valores pontos na elipse mais próximos e mais distantes da origem

Considere duas funções e continuamente diferenciáveis, definidas em todo o plano . Sabendo que o plano tangente ao gráfico de em só intercepta o gráfico de no ponto e que intercepta o gráfico de em um único ponto, que é mínimo global de , indique a afirmatica correta:

Não há informações suficientes para deduzirmos se é um ponto crítico de ou não.

é um ponto crítico de que necessariamente é um ponto de sela.

é um ponto crítico de que pode ser de máximo, de mínimo ou de sela.

não é um ponto crítico de .

é um ponto crítico de que necessariamente é um ponto de máximo ou de mínimo global.

Considere a função

Considere as seguintes afirmações:

1. O gráfico de é união de uma porção de um elipsoide e de um hiperboloide de uma folha.
2. A função é contínua em
3. O máximo absoluto de é 4

Assinale a resposta certa:

1. Nenhuma das opções
2. Somente as afirmações I e III são verdadeiras
3. Somente a afirmação II é verdadeira
4. Somente as afirmações I e II são verdadeiras
5. Todas as afirmações são verdadeiras.

Determine os pontos críticos de classificando-os como pontos de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de sela.

Se três números positivos , e é tal que o produto , determine tais números sabendo que sua soma, assume valor máximo.

A janela de uma casa tem a forma de um retângulo com um triângulo isósceles no topo. Se o perímetro da janela é 12m e esta deve coletar a maior quantidade de energia solar possível, mostre que o ângulo da base do triângulo é radianos.