Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 32
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas usando uma calculadora (ou um computador). Desenhe vários membros de cada família na mesma tela.
Passo 1
Bom, pessoal. Esse exercício pede pra descobrir quem são as trajetórias ortogonais da curva do enunciado. Então nosso objetivo é chegar na equação da curva que faz com a curva de equação
Isso significa que as retas tangentes de cada curva devem ser perpendiculares entre si nos pontos de intersecção. Como conseguir isso?
Bom, a gente sabe que reta tangente tem a ver com derivada. Então, de algum modo, vamos ter que relacionar as derivadas das duas curvas.
Passo 2
Que tal calcular a derivada da curva do enunciado? É só derivar os dois lados da equação, lembrando da regra do quociente:
Para o desaparecer, a gente isola ele na equação original, e depois joga na equação da derivada:
Passo 3
Então beleza! Já sabemos a derivada da curva do enunciado, agora como relacionar com a derivada da trajetória ortogonal?
Relembrando, as retas tangentes devem formar e a inclinação dessas retas é justamente a derivada. Logo, podemos aplicar aquela regrinha de retas perpendiculares: trocar o sinal e inverter a fração da inclinação. Então, olha como fica a nossa derivada da trajetória ortogonal:
Passo 4
Show! O passo anterior acabou nos dando uma equação diferencial separável correspondente à trajetória ortogonal, olha que presentão! Agora é mão na massa pra resolver:
Olha aí! Chegamos à equação que descreve a família de trajetórias ortogonais! Bora dar uma conferida nos gráficos das duas famílias de curvas pra saber se elas são ortogonais mesmo?
