Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 3
Suponha que uma população se desenvolva de acordo com a equação logística
onde é medido em semanas.
(a) Qual é a capacidade de suporte? Qual é o valor de ?
(b) Um campo de direções para essa equação é mostrado à direita. Onde as inclinações estão próximas de ? Onde elas são maiores? Quais soluções são crescentes? Quais soluções são decrescentes?
(c) Use o campo de direções para esboçar as soluções para as populações iniciais de e . O que essas soluções têm em comum? Como diferem? Quais soluções têm pontos de inflexão? Em qual nível populacional elas ocorrem?
(d) Quais são as soluções de equilíbrio? Como as outras soluções estão relacionadas a essas soluções?
Passo 1
(a) Ei, pessoal! O enunciado nos deu a equação logística:
Agora olha a forma genérica de uma equação logística:
A partir dessas informações, a gente precisa descobrir o valor da capacidade de suporte, ou seja, a constante , e o valor da constante k, beleza?
Vamos igualar as duas expressões de pra comparar termo a termo:
Pra essas duas coisas serem iguais, a gente precisa que a constante que multiplica seja igual dos dois lados, assim como a constante que acompanha , certo?
Para , temos:
Para :
Mas já achamos que , então:
Passo 2
(b) Pessoal, vamos olhar pro campo de direções. Onde as inclinações são mais próximas de ? Ou seja, onde as retas parecem mais horizontais? Isso ocorre quando tá próximo de ou de , não é mesmo?
E onde as inclinações são maiores? Ou seja, onde as retas são crescentes e parecem estar mais verticais? Isso ocorre quando está mais próximo de , certo?
Agora, onde as soluções são crescentes ou decrescentes? Repare que toda solução que começa abaixo de ou seja, em que , é crescente. E se a solução é decrescente.
Passo 3
(c) Show! Agora bora esboçar as soluções pedidas no campo de direções:
O que você enxerga de comum entre essas curvas? Parece que todas elas têm a tendência de “terminar” no mesmo ponto, né? Ou seja, quanto mais o tempo passa, mais a população se aproxima de , pra qualquer uma dessas soluções.
E qual a principal diferença entre elas? Bom, as que começam abaixo de são crescentes, e as que começam acima de são decrescentes.
Agora, se você reparar bem, algumas dessas curvas têm ponto de inflexão. Observa as soluções de e . A curva vai ficando cada vez mais inclinada até chegar mais ou menos em , e a partir daí a inclinação vai diminuindo até zerar em
Passo 4
(d) As soluções de equilíbrio são do tipo , e portanto, são representadas por retas. Veja que e são soluções de equilíbrio.
E perceba que todas as soluções não nulas se aproximam da solução de equilíbrio quando beleza galera?
Resposta
(a)
(d) e