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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 26

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

x a + y a = c 1 ,       a ≠ 2

Passo 1

E vamos de trajetórias ortogonais hehehe

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   x a + y a = c 1 , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

x a + y a = c 1     ( I )

Usando a regra da cadeia (pra derivarmos o y )

a . x a - 1 + a . y a - 1 d y d x = 0

Vamos isolar o d y d x :

d y d x = - a . x a - 1 a . y a - 1

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = - x a - 1 y a - 1

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - x a - 1 y a - 1

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = y a - 1 x a - 1

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = y a - 1 x a - 1

d y d x = x - a - 1 y - a - 1

Multiplicando em cruz:

y - a - 1   d y = x - a - 1   d x

y - a + 1   d y = x - a + 1   d x

Vamos integrar dos dois lados. Pra isso, temos que lembrar que ∫ u n d u = u n + 1 n + 1

y - a + 1 + 1 - a + 1 + 1 = x - a + 1 + 1 - a + 1 + 1

y - a + 2 - a + 2 = x - a + 2 - a + 2 + c 2

Multiplicando tudo por 2 - a , temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

y - a + 2 = x - a + 2 + c 2

Repara que essa foi uma forma genérica de resolver o exercício 25 :)

Resposta

y - a + 2 = x - a + 2 + c 2

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