Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 22
Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
Passo 1
Bora bora que a gente já ta ficando craque em trajetórias ortogonais
Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por, né?
A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser
Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação diferencial , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:
Usando a regra da cadeia:
Vamos isolar o na equação , só pra aí a gente poder substituir na equação
Belezinha, vamos substituir esse na equação então
Então, a equação diferencial da família dada é
Passo 3
Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos
Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:
Mas :
Então, temos
Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P
Passo 4
Temos
Integrando dos dois lados:
Multiplicando tudo por -4, temos que as trajetórias ortogonais são descritas por