As equações de Lotka e Volterra:

dy/dt = y (α - βx)

dx / dt = x (-γ + δy)

Em que α, β, γ, e δ são constantes positivas, ocorrem na análise do equilíbrio biológico de duas espécies de animais, tais como predador e presa (por exemplo, raposas e coelhos). Aqui, x(t) e y(t) denotam as populações das duas espécies no tempo t . Embora não exista nenhuma solução explícita para esse sistema, soluções podem ser encontradas relacionando as duas populações em qualquer tempo. Divida a primeira equação pela segunda e resolva a equação diferencial não-linear de primeira ordem resultante.

Passo 1

Então pessoal, aqui o enunciado nos dá duas equações diferenciais, que são:

d y d t = y α - β x

d x d t = x - γ + δ y

E ele pede para resolvermos d y d x dividindo a primeira pela segunda, saca só:

d y d x = y α - β x x - γ + δ y

Isolando as variáveis, teremos:

- γ + δ y y d y = α - β x x d x

E então só precisamos integrar e resolver isso aí!

Passo 2

Simplificando e integrando, teremos:

- γ ∫ d y y + δ ∫ d y = α ∫ d x x - β ∫ d x

Para o lado esquerdo temos o seguinte:

- γ ∫ d y y + δ ∫ d y = δ y - γ ln ⁡ y + c 1

E para o lado direito teremos:

α ∫ d x x - β ∫ d x = α ln ⁡ x - β x + c 2

Unindo os resultados, teremos:

δ y - γ ln ⁡ y = α ln ⁡ x - β x + c

Como não conseguimos simplificar muito mais que isso, vamos ficar com esse resultado, tudo bem? Então está aí nossa resolução! 😉

Resposta

δ y - γ ln ⁡ y = α ln ⁡ x - β x + c

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