Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 21
As equações de Lotka e Volterra:
Em que são constantes positivas, ocorrem na análise do equilíbrio biológico de duas espécies de animais, tais como predador e presa (por exemplo, raposas e coelhos). Aqui, e denotam as populações das duas espécies no tempo . Embora não exista nenhuma solução explícita para esse sistema, soluções podem ser encontradas relacionando as duas populações em qualquer tempo. Divida a primeira equação pela segunda e resolva a equação diferencial não-linear de primeira ordem resultante.
Passo 1
Então pessoal, aqui o enunciado nos dá duas equações diferenciais, que são:
E ele pede para resolvermos dividindo a primeira pela segunda, saca só:
Isolando as variáveis, teremos:
E então só precisamos integrar e resolver isso aí!
Passo 2
Simplificando e integrando, teremos:
Para o lado esquerdo temos o seguinte:
E para o lado direito teremos:
Unindo os resultados, teremos:
Como não conseguimos simplificar muito mais que isso, vamos ficar com esse resultado, tudo bem? Então está aí nossa resolução! 😉