As equações de Lotka e Volterra: d y d t = y α - β x d x d t = x - γ + δ y Em que α ,β ,γeδ são constantes positivas, ocorrem na análise do equilíbrio biológico de duas espécies de animais, tais como predador e presa (por exemplo, raposas e coelhos). Aqui, x t e y t denotam as populações das duas espécies no tempo t . Embora não exista nenhuma solução explícita para esse sistema, soluções podem ser encontradas relacionando as duas populações em qualquer tempo. Divida a primeira equação pela segunda e resolva a equação diferencial não-linear de primeira ordem resultante.

δ y - γ ln ⁡ y = α ln ⁡ x - β x + c

Enunciado

Então pessoal, aqui o enunciado nos dá duas equações diferenciais, que são:

E ele pede para resolvermos dividindo a primeira pela segunda, saca só:

Isolando as variáveis, teremos:

E então só precisamos integrar e resolver isso aí!

Simplificando e integrando, teremos:

Para o lado esquerdo temos o seguinte:

E para o lado direito teremos:

Unindo os resultados, teremos:

Como não conseguimos simplificar muito mais que isso, vamos ficar com esse resultado, tudo bem? Então está aí nossa resolução! 😉