3. Encontre as trajetórias ortogonais da família de parábolas convexas com vértices em .
Passo 1
Então galera, a equação de parábolas convexas para os vértices dados será:
Isolando , teremos:
Show!
Passo 2
Derivando nossa função, teremos:
Substituindo , teremos:
Simplificando, teremos:
Sendo assim, a equação diferencial da família ortogonal é:
Agora sim!
Passo 3
Separando as variáveis e integrando, teremos:
Resolvendo as integrais:
E está aí nossa resolução! 😉