Nos problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas.

r^2 = c1 . sen(2θ)

Passo 1

Bora lá matar esse probleminha?

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   r 2 = c 1 . s e n 2 θ , certo?

Como nesse caso estamos trabalhando com coordenadas polares, temos que nos atentar a algumas coisas. A primeira é que em uma função r = f ( θ ) temos

r d θ d r = t g   ψ   ( I )

E também temos que duas curvas polares r 1 e r 2 são ortogonais somente se

t g   ψ 1 . t g   ψ 2 = - 1     ( I I )

Então, pra encontrarmos a equação diferencial das trajetórias ortogonais, vamos inverter ( I ) e multiplicar por - 1

Então vamos usar essas informações para encontrarmos as trajetórias ortogonais, belezinha?

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada da equação dada

r 2 = c 1 . s e n 2 θ       ( I I I )

Usando a regra da cadeia (para derivarmos r ² hehe):

2 r . d r d θ = 2 c 1 . cos ⁡ 2 θ

r . d r d θ = c 1 . cos ⁡ 2 θ     ( I V )

Humm vamos isolar o c 1 lá na equação ( I I I ) , pra aí podermos substituir na equação ( I V )

r 2 = c 1 . s e n 2 θ

c 1 = r 2 s e n 2 θ

Substituindo em ( I V ) :

r . d r d θ = r 2 s e n 2 θ . cos ⁡ 2 θ

Podemos cortar um r ² do lado direito com o r do lado esquerdo. E também vamos lembrar que cos ⁡ x s e n ( x ) = c o t ⁡ ( x )

d r d θ = r . c o t ⁡ ( 2 θ )

Agora se liga só, vamos inverter os dois lados pra chegarmos em algo parecido com o que temos lá na equação ( I ) do passo 1

d θ d r = 1 r . c o t ⁡ ( 2 θ )

Como 1 cot ⁡ x = t g ⁡ ( x ) :

d θ d r = t g ⁡ ( 2 θ ) r

Passando o r pro outro lado:

r d θ d r = t g ⁡ ( 2 θ ) = t g   ψ 1     ( V )

Passo 3

Agora vamos inverter a equação ( V ) e acrescentar um sinal de menos, que aí vamos ter a equação diferencial das trajetórias ortogonais:

r d θ d r = tg ⁡ 2 θ

Invertendo:

r d θ d r = - 1 tg ⁡ 2 θ = t g   ψ 2

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

r d θ d r = - 1 tg ⁡ 2 θ

Multiplicando em cruz:

1 r d r = - t g ( 2 θ )   d θ

Boa, agora é só integrar dos dois lados:

∫ 1 r d r = ∫ - t g ( 2 θ ) d θ

ln ⁡ | r | = ln ⁡ cos ⁡ 2 x 2 + c 2

Multiplicando tudo por 2:

2 ln ⁡ | r | = ln ⁡ cos ⁡ 2 x + c 2

ln ⁡ | r | ² = ln ⁡ cos ⁡ 2 x + c 2

Então:

r ² = e ln ⁡ cos ⁡ 2 x + c 2

r ² = e ln ⁡ cos ⁡ 2 x . e c 2

Mas e c 2 é uma constante, certo? Então vamos chamar de c 3

E por fimmm, temos

r ² = c 3 . c o s ⁡ ( 2 x )

Resposta

r ² = c 3 . c o s ⁡ ( 2 x )

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