Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 17

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = c 1 1 + x ²

Passo 1

Vamos pra mais uma

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y = c 1 1 + x ² , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = c 1 1 + x ² ( I )

Usando a regra do quociente:

d y d x = 0 . 1 + x 2 - c 1 . ( 2 x ) ( 1 + x 2 ) ²

d y d x = - 2 x c 1 ( 1 + x 2 ) ²     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = c 1 1 + x 2

c 1 = y . ( 1 + x 2 )

c 1 = x 2 y + y

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = - 2 x x 2 y + y 1 + x 2 2

d y d x = - 2 x 3 y - 2 x y 1 + x 2 2

d y d x = - 2 x y ( x 2 + 1 ) 1 + x 2 2

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = - 2 x y ( x 2 + 1 )

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = - 2 x y ( x 2 + 1 )

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = ( x 2 + 1 ) 2 x y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = ( x 2 + 1 ) 2 x y   ( I I I )

Multiplicando em cruz:

2 y   d y = x 2 + 1 x d x

Integrando dos dois lados:

y 2 = x 2 2 + ln ⁡ | x | + c 2

Multiplicando tudo por 2, temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

2 y 2 = x 2 + 2 ln ⁡ | x | + c 2

Resposta

2 y 2 = x 2 + 2 ln ⁡ | x | + c 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um reservatório de 200 galões está ocupado até a metade com água destilada. No instante t = 0 , uma solução que contém 0,5l b / g a l de concentrado entra no reservatório a uma taxa de 5g a l / m i n
Uma sala de conferências de uma corporação contém 4500p é s 3 é de ar inicialmente isento de monóxido de carbono. A partir do tempo t = 0 fumaça de cigarro contendo 4% de monóxido de carbono é expelid
Um tanque contém 100 galões de água doce. Uma solução que contém 1 l b / g a l de fertilizante solúvel escoa para um tanque a uma taxa de 1g a l / m i n , e a mistura é bombeada para fora do tanque a
Um tanque contém inicialmente 100 galões de solução salina em que são dissolvidos 50 l b de sal. Uma solução salina que contém 2 l b / g a l de sal é inserida em um tanque a uma taxa de 5 g a l / m i
Nos problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada. y = c 1 x