Enunciado

Encontre os três ângulos internos de um triângulo, cujo os vértices são:

P ( 2,0 )

Q 0,3

R ( 3,4 )

Passo 1

P ( 2,0 )

Q 0,3

R ( 3,4 )

Bom galera, primeiro a gente encontra os vetores que formam os ângulos, e eles são a diferença dos pontos, bem assim:

P Q → = Q - P = ( - 2,3 )

P R → = R - P = ( 1,4 )

R P → = P - R = ( - 1 , - 4 )

R Q → = Q - R = ( - 3 , - 1 )

Vamos começar calculando o ângulo entre P Q → e P R → .

Passo 2

Beleza, por definição o cosseno do ângulo entre dois vetores é:

cos ⁡ θ = P Q → × P R → P Q → ⋅ P R →

Ou seja, é a soma dos produtos de cada uma das dimensões dos vetores dividido pelo produto da norma euclidiana desses vetores, essa norma é a mesma coisa que pitagorás, sabe?

Pois é, se a gente pegar a função inversa do cosseno a gente vai encontrar o ângulo:

θ = cos - 1 ⁡ P Q → × P R → P Q → ⋅ P R →

Passo 3

Agora, a gente vai calcular a soma dos produtos das dimensões dos vetores:

P Q → × P R → = - 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4

P Q → × P R → = 10

Passo 4

E para o produto dos normalizados vamos calcular as normas:

P Q → = - 2 2 + 3 2 = 13

E:

P R → = 1 2 + 4 2 = 17

Assim o produto dos dois é:

P Q → ⋅ P R → = 13 ⋅ 17 = 221

Passo 5

Calma, agora é só botar naquela forma, essa aqui:

θ = cos - 1 ⁡ P Q → × P R → P Q → ⋅ P R →

Fica:

θ = cos - 1 ⁡ 10 221 = 48 °

Passo 6

Fazendo o mesmo nos outros ângulos encontramos:

α = 75 °

β = 57 °

Resposta

θ = 48 °

α = 75 °

β = 57 °

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