Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 25
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Fala, amigos! Tudo joinha?
A questão pede o raio e o intervalo de convergência de:
Geralmente para encontrar esse raio e esse intervalo usamos o Teste da Razão ou da Raiz.
Aqui vamos usar o Teste da Razão. No Teste da Razão, temos que:
Se a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Caso a série é divergente e se o teste é inconclusivo.
Ah, já vou te adiantando que no último passo vamos usar dois testes que já vimos até agora para testar se há convergência para os valores nas extremidades do intervalo. Vou recapitular rapidinho com você aqui já nesse passo.
- Para a série-p, temos:
É convergente se e é divergente se .
- Teste da Série Alternada:
Se a série acima satisfaz as condições: (i) para todo (traduzindo: é decrescente) e (ii) , a série converge.
Vem comigo!
Passo 2
Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.
Temos que
Então, fazemos
Assim, já vamos escrever nossa divisão como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda:
Vamos abrir as somas de expoentes e simplificar termos que dividem entre si:
Tirando os termos que dependem de do módulo, já que é sempre positivo:
Dividimos o numerador e o denominador do nosso termo ao cubo por para simplificar nossa análise. Resolvendo o limite, finalmente:
Passo 3
Pelo teste da razão, a série
Converge quando
Lembra que é justamente o resultado do limite? Então:
Para isolar , manipulamos a inequação. Dividindo por 5:
Isolando o :
Ficamos com:
Passo 4
Como o raio de convergência pode ser do formato:
E no nosso caso temos:
Então, o raio de convergência:
Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja:
Quando:
A série:
é convergente pela p-série com .
Quando
A série:
converge pelo teste das séries alternadas.
Então, o intervalo de convergência é: