Enunciado

Encontre o cosseno de direção do vetor e o ângulo de direção do vetor.

1 2 ; 1 ; 1

Passo 1

Bom galera, primeiro a gente encontra os vetores que formam os ângulos, e eles são o vetor que a questão deu e o vetor direção de cada eixo, são então:

v → 1 2 ; 1 ; 1

x → 1 ; 0 ; 0

y → 0 ; 1 ; 0

z → 0 ; 0 ; 1

Vamos começar calculando o ângulo entre v e x .

Passo 2

Beleza, por definição o cosseno do ângulo entre dois vetores é:

cos ⁡ θ = v × x v ⋅ x

Ou seja, é a soma dos produtos de cada uma das dimensões dos vetores dividido pelo produto da norma euclidiana desses vetores, essa norma é a mesma coisa que pitagorás, sabe?

Pois é, se a gente pegar a função inversa do cosseno a gente vai encontrar o ângulo:

v ^ x = cos - 1 ⁡ v × x v ⋅ x

Passo 3

Agora, a gente vai calcular a soma dos produtos das dimensões dos vetores:

v × x = 1 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0

v × x = 0,5

Passo 4

E para o produto dos normalizados vamos calcular as normas:

v = 1 2 2 + 1 2 + 1 2 = 2,25

E:

x = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

Assim o produto dos dois é:

v ⋅ x = 2,25 ⋅ 1 = 2,25

Passo 5

Calma, agora é só botar naquela forma, essa aqui:

v ^ x = cos - 1 ⁡ v × x v ⋅ x

Fica:

v ^ x = cos - 1 ⁡ 0,5 2,25 = 70,53 °

Passo 6

Fazendo o mesmo nos outros ângulos encontramos:

v ^ y = cos - 1 ⁡ 1 2,25 = 48,19 °

v ^ z = cos - 1 ⁡ 1 2,25 = 48,19 °

Resposta

v ^ x = 70,52 °

cos ⁡ v ^ x = 0,5 2,25

v ^ y = 48,19 °

cos ⁡ v ^ y = 1 2,25

v ^ z = 48,19 °

cos ⁡ v ^ z = 1 2,25

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