Se xy + e^y = e , encontre o valor de y'' no ponto onde x = 0 .

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que calculemos a derivada segunda no ponto x = 0 da seguinte expressão:

x y + e y = e

Com isso, devemos derivar implicitamente nossa equação.

Em outras palavrvas, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada d y d x (ou y ' ).

Então bora lá!! 😉

Passo 2

Se x = 0 na equação x y + e y = e , então, nós temos que:

0 + e y = e

Isso implica que:

y = 1

E o ponto onde x = 0 é:

( 0,1 )

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a x , temos:

x y ' + y ⋅ 1 + e y y ' = 0

Substituindo pelos pontos que encontramos: x = 0 y = 1 , nós ficamos com:

0 + 1 + e y ' = 0

⇒ e y ' = - 1

O que nos dá que:

y ' = - 1 e

Passo 4

Agora, precisamos derivar novamente, ou seja, vamos derivar a equação x y ' + y ⋅ 1 + e y y ' = 0 em relação a x e isso nos dá que:

x y ' ' + y ' ⋅ 1 + y ' + e y y ' ' + y ' ⋅ e y y ' = 0

Agora faremos as seguintes substituições: x = 0 y = 1 y ' = - 1 e . Então, ficamos com:

0 + - 1 e + - 1 e + e y ' ' + - 1 e e - 1 e = 0

Isso implica que:

- 2 e + e y ' ' + 1 e = 0

⇒ e y ' ' = 1 e

E isso nos dá que:

y ' ' = 1 e 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' ' = 1 e 2

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