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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 57

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f t = 2 cos ⁡ t + sin ⁡ 2 t ,     0 , π 2

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui necessitamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função dada no intervalo dado.

Iremos avaliar o valor de f ( x ) em cada um dos pontos críticos e também nos pontos extremos. Entre estes, o valor máximo de f ( x ) é o máximo absoluto. E, o valor mínimo de f ( x ) é o mínimo absoluto. Note que haverá apenas um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Além disso, observe que tudo isso é verdade apenas quando os intervalos são fechados.

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos. Então

f ' t = - 2 sin ⁡ t + 2 cos ⁡ 2 t

Utilizando a propriedade trigonométrica de cos ⁡ 2 t , ficamos com

f ' t = - 2 sin ⁡ t + 2 1 - 2 sin 2 ⁡ t = - 2 ( 2 sin 2 ⁡ t + sin ⁡ t - 1 )

f ' t = - 2 ( sin ⁡ t + 1 ) ( 2 sin ⁡ t - 1 )

Igualando a zero

- 2 sin ⁡ t + 1 2 sin ⁡ t - 1 = 0

sin ⁡ t + 1 = 0     o u   2 sin ⁡ t - 1 = 0

Então, ou

sin ⁡ t = - 1

t = 3 π / 2  

Ou

2 sin ⁡ t - 1 = 0

2 sin ⁡ t = 1

sin ⁡ t = 1 2

t = π / 6

Passo 3

Aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular f 0 ,   f π 6   e   f π 2 . Note que f 3 π 2 não será calculado pois esse ponto não está dentro do intervalo dado. Então

f 0 = 2

f π 6 = 3 2 3 ≈ 2,6

f π 2 = 0

Com isso, podemos ver que f π 6 = 3 2 3 é um ponto de máximo absoluto e f π 2 = 0 é um ponto de mínimo local.

Resposta

f π 6 = 3 2 3 é um ponto de máximo absoluto e f π 2 = 0 é um ponto de mínimo local.

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