Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 2

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum.

Passo 1

Essa função é um polinômio, então ela é contínua em todo o intervalo.

Nessa situação, para acharmos os extremos absolutos precisamos achar os extremos relativos que estejam no intervalo e depois os valores da função nos extremos do intervalo.

OBS: se o extremo do intervalo for aberto, não tem como calcular o valor ali, o que precisamos fazer é o limite da função.

Vamos procurar o extremo dessa função, primeiro com os pontos críticos, que são os pontos onde não existe derivada ou ela é

Aqui sempre teremos a derivada, vamos ver só quando é .

Por Bhaskaras, vamos achar

Os dois vão estar no intervalo, então vamos ver se são extremos.

Passo 2

Vamos usar o teste da segunda derivada para verificar se ele é máximo ou mínimo relativo.

Lembrando, se então é mínimo, se então é máximo.

Temos,

Para

Logo é ponto de máximo

Para

Logo é ponto de mínimo

Passo 3

Agora vamos pegar as bordas do intervalo, em e tomamos o limite.

Passo 4

Por fim, temos que comparar os valores de para os extremos relativos que pegamos e para as boras do intervalo.

Extremos

Dentre esse valores o maior deles é o limite que vai para certo? Ele então seria o máximo absoluto, mas calma uma coisa, o intervalo não pega o , então não teremos máximo absoluto.