Enunciado

  1. Use um gráfico para estimar os valores de máximo e mínimo absolutos da função com precisão de duas casas decimais.
  2. Use os cálculos para encontrar os valores de máximo e mínimo exatos

f x = x - 2 cos ⁡ x ,     - 2 ≤ x ≤ 0

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x - 2 cos ⁡ x

E nosso objetivo é usar uma ferramenta gráfica para plotar o gráfico da função f no intervalo - 2 ≤ x ≤ 0 e estimar os valores de máximo e mínimo e depois obter os mesmos resultados por meio dos cálculos dos pontos críticos.

Parece complicado?

Primeiro vamos plotar o gráfico da função f e fazer o que o exercicio pediu: estimar os valores máximos e mínimos dentro do intervalo dado.

Depois, para calcular esses valores vamos usar os pontos críticos de f ... pra isso derivamos f e igualamos a 0 . Assim vamos verificar quais valores de x satisfazem essa igualdade e por fim, aplicamos esses pontos à f e comparamos com os valores dos extremos do intervalo.

Bora lá!

Passo 2

Plotando o gráfico com a ajuda de uma ferramenta gráfica, temos

Pelo gráfico podemos ver que o ponto de máximo é o ponto ( - 2   ,   - 1,17 ) e o mínimo é o ponto ( - 0,52   ,   - 2,26 )

Show?

Passo 3

Agora vamos encontrar os pontos críticos de f , pra isso vamos começar calculando a derivada de f

f x = x - 2 cos ⁡ x

f ' x = d x d x - d 2 cos ⁡ x d x

f ' x = 1 - - 2 sin ⁡ x

f ' x = 1 + 2 sin ⁡ x

Igualando a 0 , temos

f ' x = 1 + 2 sin ⁡ x = 0

sin ⁡ x = - 1 2

x = arcsin ⁡ - 1 2

O valor arcsin ⁡ - 1 2 corresponde a uma família de valores, mas x pertence ao intervalo - 2,0 , então

x = - π 6

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora substituímos x = - π / 6 em f e comparamos com f nos extremos do intervalo...

Se f x = x - 2 cos ⁡ x , então

f - π 6 = - π 6 - 2 cos ⁡ - π 6

f - π 6 = - 2,26

Aplicando o limite inferior do intervalo - 2 em f

f - 2 = - 2 - 2 cos ⁡ - 2

f - 2 = - 1,16

Agora o mesmo para o limite superior 0

f 0 = 0 - 2 cos ⁡ 0

f 0 = - 2

Comparando esses resultados, vemos que o máximo aboluto de f no intervalo é - 2 , - 1,16 e o mínimo absoluto é em - π 6 , - 2,26 .

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f - 2 ≈ - 1,168 é um ponto de máximo absoluto e f ( - π / 6 ) = - 2,26 é um ponto de mínimo absoluto.

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