Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 21
Encontre os valores máximo e mínimo locais de usando Testes da Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere?
Passo 1
Oieee, bora lá
O enunciado pede que encontremos os valores máximo e mínimo locais da função
Utilizando os Testes da Primeira e Segunda Derivadas.
Vamos contextualizar o que isso significa:
Teste da Primeira Derivada: Este teste envolve encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os valores de onde ou não está definida.
Em seguida, analisamos o sinal da derivada em intervalos entre os pontos críticos para determinar onde a função está aumentando ou diminuindo.
Os pontos onde a função muda de crescente para decrescente (ou vice-versa) são os pontos de máximo ou mínimo locais.
Teste da Segunda Derivada: Este teste envolve encontrar os pontos de inflexão da função, onde a concavidade da curva muda.
Para isso, encontramos os valores de onde ou não está definida.
Em seguida, analisamos o sinal da segunda derivada em intervalos entre os pontos de inflexão para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão.
Agora, podemos proceder para encontrar os valores máximo e mínimo locais de utilizando esses métodos.
Passo 2
Nós precisamos usar os testes da primeira e segunda derivada, certo?
Então vamos calcular logo as derivadas e depois a gente aplica os testes, belezal?
Partxiuu
Calculando a primeira derivada, usando a regra da potência e da subtração, temos que
Agora, vamos calcular a segunda derivada, usando as mesmas regras,
Passo 3
Agora eu já tenho as derivadas, vamos encontrar os pontos críticos (nossos candidatos a máximo e a mínimo)
Tirando o mmc lá na primeira derivada, temos
Perceba que em a derivada não existe, então ele é nossos primeiros números critico, beleza? Guarda ele aí. Agora vamos achar o resto.
Ou seja,
Isso significa que
Elevando a quatro ambos os lados da igualdade,
Logo,
Passo 4
Agora que já temos os dois pontos críticos, e . Vamos ver como se comporta próximo a eles para aplicar o teste da primeira derivada. Ok?
Temos que:
- , se
- , se
- , se
Pelo teste da primeira derivada, como sai do positivo para o negativo em então ) é um mínimo local.
Passo 5
Precisamos usar o teste da segunda derivada, né? Então vamos encontrar nossos candidatos a ponto de inflexão.
Tirando o mmc lá na segunda derivada,
Mais uma vez o ponto é não está no domínio da função. Ele é nosso candidato aponto de inflexão.
Vamos achar os outros, ou seja,
Isto é,
Isso significa que
Elevando a 4 ambos os lados,
Isto é,
Passo 6
Agora que já temos os dois pontos de inflexão, e . Vamos ver como se comporta próximo a eles para aplicar o teste da primeira derivada. Ok?
Temos que:
Pelo teste da segunda derivada, segue que é um ponto de mínimo.
Resposta
é um ponto de mínimo. É melhor usar o teste da primeira derivada, pois é mais fácil (tem menos contas).