Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 44
33-44
a)Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
b)Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
c)Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão
d)Use as informações das partes (a) – (c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
40-
Passo 1
Faaala aí, bora matar mais uma?
Nessa questão, temos a seguinte função:
E queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente
E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.
Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.
Ou pontos onde a derivada não exista:
Esses são pontos críticos da nossa função.
Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.
Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.
Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.
E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.
E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.
E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.
Passo 2
Galerinha, aqui nós temos que lembrar que uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa.
Portanto, para avaliar os intervalos onde é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal.
Derivando usando a regra da potência de :
Obtemos:
Dando uma ajeitada na nossa expressão, ficamos com isso:
Igualando a zero (vulgo achando os pontos críticos):
E também é um ponto crítico aquele em que a derivada não é definida. Aqui como nossa derivada possui uma fração, para ela ser definida seu denominador não pode ser zero, logo:
Também é um ponto crítico.
Fazendo o estudo do sinal:
Assim, a nossa função é crescente no seguinte intervalo:
E decrescente nesse intervalo:
Passo 3
Nesse item nós vamos aproveitar o quadro de sinais da função de cima. Se a nossa função muda de sinal de para o ponto onde isso é acontece é o nosso mínimo relativo. No entanto, se ela muda de para , nós temos para esse ponto crítico um máximo relativo, sacou ?!
Dessa forma, é o nosso mínimo relativo e é o nosso máximo relativo.
Passo 4
c)Gente, a concavidade da função é indicada pelo sinal da segunda derivada. Quando ela é positiva, a função possui concavidade para cima e quando é negativa, a função possui concavidade para baixo. Então, devemos obter a segunda derivada e estudar o seu sinal:
Igualando a zero:
Vamos chamar de , pra ver se a situação fica menos pior:
Como , temos:
Também temos isso:
Passo 5
Agora, vamos montar um quadro de sinais:
A partir disso, podemos concluir que a nossa função é côncava para cima no seguinte intervalo:
E côncava para baixa no seguinte intervalo:
Passo 6
Juntando todas essas informações
A função é crescente no seguinte intervalo:
E decrescente nesse intervalo:
é o nosso mínimo relativo e é o nosso máximo relativo.
) A função é côncava para cima no seguinte intervalo:
E côncava para baixa no seguinte intervalo:
Conseguimos o seguinte gráfico:
Gente, só se lembrem que, que para a nossa função não é derivável, justamente porque nós achamos esse valor igualando o denominador de a zero. Daí o bico da nossa função. Ok ?!
Resposta
a) A função é crescente no seguinte intervalo:
E decrescente nesse intervalo:
b) é o nosso mínimo relativo e é o nosso máximo relativo.
c) A função é côncava para cima no seguinte intervalo:
E côncava para baixa no seguinte intervalo:
d)
