Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 16
Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce o seu gráfico.
16.
Passo 1
Nessa questão, nos foi dada a equação de uma elipse, para encontrarmos seus vértices e focos.
A equação da elipse centrada em é dada por:
Onde
E tem o foco em:
Onde:
E os vértices são em:
Mas como nossa equação na está na forma geral, antes de encontrarmos os pontos, deveremos manipulá-la para que ela esteja daquela forma. Para fazermos isso, deveremos completar os quadrados.
Passo 2
Primeiramente vamos ajeitar a equação:
colocando os termos semelhantes perto:
Colocando em evidência os termos de e completando o quadrado com e completando o quadrado de com :
Agora temos os dois produtos notáveis:
Organizando:
Vamos dividir ambos os lados por :
A equação geral de uma elipse que é centrada em
e quando temos o número maior embaixo do esta é uma elipse com eixo maior no eixo .
O foco de uma elipse desse tipo é dado por
Então temos que
Os vértices da elipse
são:
Então,
Passo 3
Vamos esboçar essa elipse, ela tem a seguinte forma geral:
A nossa elipse é a seguinte:
Em azul a gente tem os focos, e em vermelhos temos os vértices.