Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 85b
Encontre o volume do sólido gerado girando a região delimitada pela elipse em torno (b) do eixo.
Passo 1
Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo que vamos resolver este exercício juntos!
Primeiramente iremos relembrar algumas definições. A elipse é um conjunto de pontos de um plano cujas distâncias a partir de dois pontos fixos nesse plano têm uma soma constante. Os dois pontos fixos são os focos da elipse.
A reta que passa pelos focos de uma elipse é o eixo focal da elipse. O ponto no eixo na metade do trajeto entre os focos é o centro. Os pontos onde o eixo focal e a elipse se cruzam são os vértices da elipse, isso é explicado pela seguinte Figura:
A equação da forma padrão para elipses centradas na origem, com focos no eixo :
Além disso, a equação do volume do sólido é dada por:
Então vamos lá! Pelo enunciado, temos a seguinte equação:
Para deixarmos no formato padrão de uma elipse, iremos dividir ambos os lados por 36:
Onde:
Encontrando a seguinte elipse:
Passo 2
Queremos encontrar o volume para quando a elipse gira em torno do eixo , então iremos isolar em função de :
Ou seja:
Aplicando na equação do volume e se gira em torno do eixo , o intervalo de integração será a :
Tchau galera.
Resposta
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