Enuncie uma fórmula integral para a força fluida exercida sobre uma superfície plana verticalmente submersa em um fluido de peso específico e use somas de Riemann para derivar a fórmula dada.

Bom, de inicio usamos o método do fatiamento na superfície, tornando-as faixas horizontais cujas áreas possam ser aproximadas por áreas de retângulos.

Assim, nós começamos dividindo o intervalo em subintervalos inserindo

os pontos , , ... , entre e . Isso tem o efeito de dividir a superfície em

faixas com áreas , , 2,..., .

A força na -ésima faixa satisfaz as desigualdades:

Como a função profundidade cresce linearmente, deve existir algum ponto entre e tal que:

Agora, aproximamos a área da-ésima faixa da superfície pela área de um retângulo de largura e altura . Assim, pode ser aproximado por:

Onde é a área do retângulo.

Somando essas aproximações, obtemos a seguinte soma de Riemann, que aproxima a força total sobre a superfície:

Tomando o limite quando cresce e a extensão dos subintervalos tende integral definida a zero, obtemos a integral:

Prontinho!!