Mostre que, dentre todos os retângulos com perímetro p , o quadrado é o que tem área máxima.

Passo 1

Imaginemos um retângulo com lados x e y . As expressões pra área e pro perímetro são, respectivamente:

A = x y

p = 2 x + 2 y

Vamos escrever y em função de x , a partir do perímetro, pra que possamos reescrever a expressão da área também somente em função de x .

2 y = p - 2 x

y = p 2 - x

Passo 2

Substituímos essa expressão pra y na expressão da área, e obtemos o seguinte:

A x = x ∙ p 2 - x

A x = p ∙ x 2 - x 2

Se você reparar, essa expressão pra área, escrita em função de x , tem o gráfico descrito por uma parábola, com concavidade voltada pra baixo. Ou seja, existe nessa parábola um ponto de máximo.

E o valor de x associado a esse ponto é o que queremos encontrar, pois vai nos dar o valor da área máxima, como o enunciado sugere.

Como fazemos isso?

Passo 3

Vamos derivar essa função e igualar sua derivada a zero. Assim, temos o ponto de derivada nula, o chamado ponto crítico, que pode ser de máximo ou de mínimo (de máximo, nesse caso).

Derivando, temos:

A ' x = p 2 - 2 x

Igualamos a zero:

p 2 - 2 x = 0

p 2 = 2 x

∴ x = p 4

Nisso, temos o valor de x , que é uma das dimensões do retângulo de maior área possível. Vamos agora determinar o valor de y , a outra dimensão.

Fazemos isso pela expressão de y que temos a partir da expressão do perímetro. Teremos:

y = p 2 - x

Sendo x = p 4 , temos:

y = p 2 - p 4

y = 2 p 4 - p 4

∴ y = p 4

Reparou que x e y têm os mesmos valores? Isso é a prova de que o retângulo com a maior área possível é um retângulo de lados iguais, ou seja, é um quadrado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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