Mostre que, dentre todos os retângulos com perímetro , o quadrado é o que tem área máxima.

Substituímos essa expressão pra na expressão da área, e obtemos o seguinte:

Se você reparar, essa expressão pra área, escrita em função de , tem o gráfico descrito por uma parábola, com concavidade voltada pra baixo. Ou seja, existe nessa parábola um ponto de máximo.

E o valor de associado a esse ponto é o que queremos encontrar, pois vai nos dar o valor da área máxima, como o enunciado sugere.

Como fazemos isso?

Vamos derivar essa função e igualar sua derivada a zero. Assim, temos o ponto de derivada nula, o chamado ponto crítico, que pode ser de máximo ou de mínimo (de máximo, nesse caso).

Derivando, temos:

Igualamos a zero:

Nisso, temos o valor de , que é uma das dimensões do retângulo de maior área possível. Vamos agora determinar o valor de , a outra dimensão.

Fazemos isso pela expressão de que temos a partir da expressão do perímetro. Teremos:

Sendo , temos:

Reparou que e têm os mesmos valores? Isso é a prova de que o retângulo com a maior área possível é um retângulo de lados iguais, ou seja, é um quadrado!