Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.18 - Ex. 28
Nos exercícios a , temos uma comporta de uma represa, colocada verticalmente, com a forma indicada.
Calcular a força total contra a comporta
28.Um trapézio isósceles com de largura e de largura na base e de altura; nível d’ água: coincide com o topo da comporta.
Passo 1
Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:
Em que é a função que limita a comporta a esquerda e é a função que limita a comporta à direita.
limita a comporta por baixo!
limita a comporta por cima!
é o peso por unidade de volume
é o nível do líquido.
Passo 2
Vamos desenhar o “gráfico” da comporta, e assim conseguiremos tirar as informações que estão nessa integral.
A comporta está em vermelho, é delimitada em baixo pelos pontos e , pois a base inferior mede .
Em cima é delimitada pelos pontos e , pois o topo precisa medir e o trapézio tem de altura.
Então,
A comporta é delimitada à esquerda pela reta que passa pelos pontos e . A reta que passa por esses pontos é a e isolando o , temos :
À direita a comporta é delimitada pela reta, também, mas essa passa pelos pontos e . A reta que passa por esses pontos é a só que precisamos de , então isolando o , temos: .
Agora, vamos isolar as nossas funções! É o passo mais fácil!
Para finalizar nossa análise, apenas temos que ver o nível da água. Ora, o nível coincide com o topo da comporta, então o nível é de .
Passo 3
Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é .
Focando só na integral, temos: