Equações de Riccati. A equação

d y d t = q 1 t + q 2 t y + q 3 t y 2

é conhecida como uma equação de Riccati. Suponha que é conhecida alguma solução particular y 1 dessa equação. Uma solução geral contendo uma constante arbitrária pode ser obtida pela substituição

y = y 1 t + 1 v t .

Mostre que v t satisfaz a equação linear de primeira ordem

d v d t = - q 2 + 2 q 3 y 1 v - q 3

Note que v t vai conter uma única constante arbitrária.

Passo 1

Nesse exercício, vamos primeiramente supor uma solução y 1 para a equação de Riccati e após isso aplicaremos a substituição sugerida pelo enunciado para verificarmos se a equação é satisfeita ou não.

Passo 2

Vamos supor y 1 da seguinte forma:

y 1 ' = q 1 + q 2 ⋅ y 1 + q 3 ⋅ y 1 2

Essa será nossa solução particular para a equação de Riccati. Temos também mais uma solução para a equação que o enunciado nos dá, onde

y = y 1 + 1 v

Se derivarmos essa expressão em relação a t , vamos ter que:

y ' = y 1 ' - 1 v 2 v ' = q 1 + q 2 y + q 3 y 2

E isso será igual a

q 1 + q 2 y + q 3 y 2 = q 1 + q 2 y 1 + 1 v + q 3 y 1 + 1 v 2 = q 1 + q 2 ⋅ y 1 + q 3 ⋅ y 1 2 - 1 v 2 v '

Manipulando toda essa expressão estranha, vamos chegar que:

- 1 v 2 ⋅ v ' = q 2 1 v + 2 q 3 y 1 v + q 3 1 v 2

Multiplicando toda expressão por - v 2 , teremos:

v ' = - q 2 v + 2 q 3 ⋅ y 1 ⋅ v - q 3 = - q 2 + 2 q 3 y 1 ⋅ v - q 3

Isso nos prova que v t satisfaz a expressão dada, uma vez que a derivada de v da a própria expressão

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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