Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 14
Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; é uma solução conhecida para a equação.
14.
Passo 1
Então pessoal, inicialmente precisamos responder: o que é uma equação de Ricatti? Esse tipo de equação apresenta o seguinte formato:
Para resolve-la devemos fazer uma substituição, ok? Sabendo que é uma solução particular dessa equação, então as substituições abaixo são válidas, olha só:
O objetivo aqui é fazer essas substituições para reduzir a equação à uma equação de Bernoulli, conforme discutimos em exercícios passados. Sim, a solução desse tipo de equação é longa, mas tendo atenção dá pra resolver com facilidade!
Passo 2
Nossa equação é a seguinte:
Sabendo que , então nossa substituição será:
Derivando, teremos:
Agora substituindo na nossa equação original, teremos:
Simplificando:
Conseguimos o que queríamos, que era encontrar uma equação diferencial de Bernoulli. Show!
Passo 3
Fazendo a substituição:
Derivando em relação a , obteremos:
Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:
Simplificando:
E então tiramos que:
Passo 4
Agora que encontramos e vamos substituir na nossa solução geral:
Para a integral do expoente, teremos:
Substituindo na solução geral:
Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:
Para resolver essa integral precisamos fazer uma substituição simples, que será:
Substituindo:
Voltando para :
Substituindo na solução novamente:
Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo.
Passo 5
O resultado que encontramos está como e queremos o resultado como , certo? Lá no passo 3 a substituição que fizemos foi:
Voltando para a variável , teremos:
E, finalmente, voltando para , teremos:
E esse é nosso resultado! 😉