Se f, g, e, h são funções diferenciáveis, mostre que W(fg, fh) = f^2 W(g, h) .

Passo 1

Para resolvermos, vamos calcular o determinante do nosso wronskiano de maneira que consigamos chegar no resultado proposto no enunciado. Como essas funções são diferenciáveis, já partimos que podemos derivar as mesmas.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, temos que nossas funções são diferenciáveis, assim sabemos que elas são continuas e deriváveis e suas derivadas também são contínuas. Partindo disso, aplicando a definição de determinante para o wronskiano, temos que:

W f g ,   f h = f 1 x f 2 x f 1 ' x f 2 ' x = f g f h f ' g + f g ' f ' h + f h ' )

Calculando o determinante de forma cruzada, teremos que

f g ⋅ f ' h + f h ' - f h ⋅ f ' g + f g ' = f g ⋅ f ' h + f 2 g ⋅ h ' - f h ⋅ f ' g - f 2 h ⋅ g ' =

Rearranjando toda essa equação, vamos formando a seguinte relação

= f 2 ⋅ g ⋅ h ' - h ⋅ g ' + f g ⋅ f ' h - f h ⋅ f ' g = f 2 ⋅ g ⋅ h ' - h ⋅ g ' + f ' f ⋅ g ⋅ h - f ⋅ g ⋅ h =

= f 2 ⋅ g ⋅ h ' - h ⋅ g '

E se fizermos o mesmo processo de determinante, porém agora para W g ,   h , vamos ver que

g ⋅ h ' - h ⋅ g ' = W g ,   h

Assim, temos que

W f g ,   f h = f 2 ⋅ W g ,   h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados