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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 37

Se f , g e h são funções diferenciáveis, mostre que W (f g , f h) = f^2 W (g , h) .

Passo 1

Para resolvermos, vamos calcular o determinante do nosso wronskiano de maneira que consigamos chegar no resultado proposto no enunciado. Como essas funções são diferenciáveis, já partimos que podemos derivar as mesmas.

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, temos que nossas funções são diferenciáveis, assim sabemos que elas são continuas e deriváveis e suas derivadas também são contínuas. Partindo disso, aplicando a definição de determinante para o wronskiano, temos que:

W (f g , f h) = [[f_1,(x),f_2,(x)],[f_1^',(x),f_2^',(x)]] = [[f,g,f,h],[f^',g,+,f,g,',f^',h,+,f,h,',)]]

Calculando o determinante de forma cruzada, teremos que

(f g * (f^' h + f h^') - f h * (f^' g + f g^')) = (f g * f^' h + f^2 g * h^' - f h * f^' g - f^2 h * g^') =

Rearranjando toda essa equação, vamos formando a seguinte relação

= f^2 * (g * h^' - h * g^') + (f g * f^' h - f h * f^' g) = f^2 * (g * h^' - h * g^') + f^' (f * g * h - f * g * h) =

= f^2 * (g * h^' - h * g^')

E se fizermos o mesmo processo de determinante, porém agora para W (g , h) , vamos ver que

(g * h^' - h * g^') = W (g , h)

Assim, temos que

W (f g , f h) = f^2 * W (g , h)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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