Esboce o gráfico de cada função e determine se a função tem quaisquer valores extremos absolutos no domínio. Explique a consistência de sua resposta com o Teorema 1.

Passo 1

Para verificar se há valores extremos absolutos dessa função dada, podemos aplicar o Teorema 2 e, portanto, aplicar a primeira derivada à função f e igualar o resultado a zero.

Para o primeiro intervalo - 1 ≤ x < 0 , o Teorema 2 não é aceito por não possuir solução, visto que:

f ' x = - 1 ≠ 0

Para o intervalo 0 ≤ x ≤ π / 2 , o Teorema 2 é aceito e, então:

f ' x = - s e n ( x ) = 0

x = 0

Passo 2

Analisando esse ponto x = 0 , temos que f ' ( x ) é positivo para x < 0 e é negativo para x > 0 e, logo, o ponto x = 0 é um máximo local.

Passo 3

Fazendo o esboço do gráfico, podemos acrescentar ainda que o ponto x = 0 é um máximo absoluto. Isso se deve ao fato de que o valor da função em x = 0 é o maior possível dentro do intervalo dado.

Também podemos enxergar que a função possui dois mínimos absolutos em x = - 1 e x = π / 2

Resposta

As condições do Teorema 1 são atendidas visto que a função está definida em um intervalo fechado [ - 1 ,   π / 2 ] e é contínua nele. Para complementar, o Teorema 2 foi útil para encontrar um dos valores extremos absolutos e o gráfico auxiliou na determinação de outros valores extremos absolutos.

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