Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.3 - Ex. 26
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
,
se ,
se ,
se ,
se
E ponto de inflexão em
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pediu pra gente esboçar o gráfico de uma função que satisfaça a algumas condições.
Vamos analisar cada uma dessas condições e entender como elas influenciam no gráfico da nossa função.
Essa condição fala que nesses pontos a derivda tem que ser igual a zero. Então devemos lembrar que a derivada é igual a inclinação da reta tangente ao gráfico da função.
Isso significa que teremos um ponto de máximo ou mínimo da função nesses lugares.
se ,
Nessa condição estamos falando de uma região onde a reta tangente possui inclinação positiva. Sendo assim, teremos uma função crescente nesses interevalos sitados.
Assim como na situação
se ,
Já para:
se
Aqui temos o caso contrário, regiões onde a derivada é negativa indicarão uma região onde a função é decrescente.
E
se
E ponto de inflexão em
A derivada segunda ajuda a gente a classificar os pontos críticos de acordo com a concavidade da função na região. E o ponto de inflexão é o ponto onde a concavidade muda de direção. Veja:
Prontinho. Agora que já sabemos como cada condição infuencia no gráfico, vamos ver como fica nossa resolução.
Passo 2
Como então possui restas tangentes horizontais em e .
Como se então é decrescente em valores de entre e .
Como se então é crescente em valores de entre e ou entre e .
Como se então é definida por uma reta decrescente para valores menores que e maiores que .
Passo 3
Como se então possui concavidade voltada para baixo para valores de entre e .
E o ponto de inflexão em faz com que a concavidade que estava para baixo até , a partir daí se configura como uma concavidade para cima.
Passo 4
Logo, o gráfico é dado por:
Resposta
