Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 28
Encontre .
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo belezinha?
O enunciado nos dá a segunda derivada
de uma função desconhecida , e pede pra gente encontrar quem é essa função
Uma boa ideia para resolver essa questão é responder à seguinte pergunta: qual é a função que se eu derivar duas vezes vou obter ?
Isso parece muito com o conceito de primitiva!
Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?
Bem, uma primitiva da função , em um determinado intervalo , é uma função derivável cuja derivada é igual a . Isto é:
⚠️Se liga, somando uma constante qualquer a primitiva , sua derivada ainda será igual a (pois a derivada de uma constante é zero). Então, a primitiva mais geral de é a função
onde é uma constante qualquer.
Para resolver essa questão vamos fazer o seguinte:
- Encontrar a primitiva de ou seja, é tal que
- Encontrar a primitiva de ou seja, é tal que
- Uma primitiva da função é
- Uma primitiva da função é
Porém, para encontrarmos essas primitivas vamos usar que:
Pensa só:
Pensa só:
- Regra da Potência - Uma primitiva de uma potência é dada por
pois a derivada de (usando a Regra da Potência para derivadas) é
O valor de só não poder ser , beleza? Pois nesse caso teríamos zero no denominador e isso não pode, né?
Prontinho, temos tudo o que precisamos para resolver essa questão 🎉.
Bora encontrar essas primitivas?
Passo 2
Primeiramente, iremos encontrar a primitiva de
Para isso, utilizamos as informações dadas no Passo 1. Assim:
onde é a constante necessária em uma primitiva geral (não podemos esquecer dela, né?).
Dessa forma, temos que a primitiva de é a função
Bora ver se fizemos tudo certinho até agora? Derivando , temos
conforme dada no enunciado.
Então, é realmente a primitiva de !
Passo 3
Agora, vamos calcular a primitiva da função encontrada no passo anterior:
Fazendo da mesma forma como no Passo anterior, vamos ter que a primitiva de é dada por:
onde novamente não podemos esquecer da constante , ok?
Dessa forma, temos que a função procurada é
Apenas para conferir se fizemos as contas certas, derivando a função encontrada temos:
Beleza, tudo certo!
Resposta
A função procurada é dada por:
onde e são constantes quaisquer.