Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 18
Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral
Passo 1
A integral da nossa questão será resolvida através da associação com a área entre a nossa curva e o eixo X. Precisamos então esclarecer alguns pontos para que possamos resolvê-la. Eles são: os limites do eixo X e qual o comportamento da nossa função neste intervalo.
Passo 2
Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por , em que é o limite inferior da nossa integral e o limite superior. Desta forma, temos:
Passo 3
Vamos obter agora o gráfico da nossa função. Portanto, temos:
Em destaque temos a área da região que devemos calcular, à qual possui a forma de um semicírculo de raio 4 e centro na origem . Poderíamos ter percebido que o mesmo corresponde a um semicírculo se fizermos . Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, obtemos:
Logo, temos a equação de uma circunferência. Só que como , pois é dado por uma raiz quadrada, só podemos pegar a parte de cima da nossa circunferência! Além disto, o valor de varia no intervalo de . Juntando as duas informações, isto é, a parte de cima da circunferência e o valor de variando no intervalo de a , temos apenas 1/4 de um círculo! E agora? Fica fácil de visualizar, né?
Passo 4
A área de um círculo é:
Sabendo que o raio é e que a nossa figura corresponde a um quarto de um círculo, a sua área é:
Logo,