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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 63

Nos Exercícios 55-62, determine a derivada de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

63.

ln ⁡ y = e y sen ⁡ x

Passo 1

A gente precisa derivar implicitamente essa função, porque não tem como isolar o y . Então:

d d x ln ⁡ y = d d x e y sen ⁡ x

Pra resolver a deriada do lado esquerdo, precisamos usar a regra da cadeia e a do lado direito a derivada do produto:

1 y ⋅ d y d x = sen ⁡ x d d x e y + e y d d x sen ⁡ x

Precisamos da regra da cadeia novamente:

1 y ⋅ d y d x = sen ⁡ x y e y ⋅ d y d x + e y co s ⁡ x

Passo 2

Se isolarmos d y / d x   vamos encontrar a derivada da função:

1 y ⋅ d y d x - y e y sen ⁡ x ⋅ d y d x = e y cos ⁡ x

Colocando d y / d x em evidência:

1 y - y e y sen ⁡ x ⋅ d y d x = e y cos ⁡ x

d y d x = e y cos ⁡ x 1 y - y e y sen ⁡ x

Resposta

d y d x = e y cos ⁡ x 1 y - y e y sen ⁡ x

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