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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 18a

Esboce as retas de crescimento nulo no primeiro quadrante, como na Figura 9.4.5. Para intervalos diferentes de α, seu esboço pode se assemelhar a partes diferentes da Figura 9.4.5.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais as variáveis de cada uma das equações

ϵ 1 = σ 1 = α 1 = 1

ϵ 2 = 0,75

σ 2 = α

α 2 = 0,5

Como temos que:

J = ϵ 1 - 2 σ 1 X - α 1 Y - α 1 X - α 2 Y ϵ 2 - 2 σ 2 Y - α 2 X

X = ϵ 1 σ 2 - ϵ 2 α 1 σ 1 σ 2 -   α 1 α 2

Y = ϵ 2 σ 1 - ϵ 1 α 2 σ 1 σ 2 -   α 1 α 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Através das relações, temos que o gráfico será:

Resposta

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Determine os pontos de bifurcação.
Encontre os pontos críticos.
Encontre os pontos críticos.
Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Dê atenção especial ao que acontece quando α passa por um ponto de bifurcação.