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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 49

Escreva a equação (a) em coordenadas cilíndricas e (b) em coordenadas esféricas.

z = x 2 + y 2

Passo 1

  1. Para escrevermos z = x 2 + y 2 em coordenadas cilíndricas, vamos lembrar que:

    2. x 2 + y 2 = r 2

    Então, basta substituirmos na nossa equação inicial, assim temos que:

    z = r 2

    Passo 2

  2. Sabemos que

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

E

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

E

z = ρ cos ⁡ ϕ

E então substituímos na equação inicial, e temos que:

ρ cos ⁡ ϕ = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2

Organizando essa expressão, temos que

ρ cos ⁡ ϕ = ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ

Ou

ρ sen 2 ⁡ ϕ = cos ⁡ ϕ

Resposta

  1. z = r 2
  2. ρ sen 2 ⁡ ϕ = cos ⁡ ϕ
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