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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 18

18. Ache D_t ³ ( sqrt(4 t + 1) )

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 3 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 3 derivadas. Uma da função dada e duas das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - sqrt(4 t + 1) = ( 4 t + 1 )^((1)/(2)) então podemos deixar a derivada na forma D_t ³ ( 4 t + 1 )^((1)/(2))

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

D_t ( 4 t + 1 )^((1)/(2)) = (1)/(2) * (4 t + 1)^((- 1)/(2)) * 4

= 2 * (4 t + 1)^((- 1)/(2))

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

D_t (2 * (4 t + 1)^((- 1)/(2))) = 2 * (- 1)/(2) * (4 t + 1)^((- 3)/(2)) * 4

= - 4 * (4 t + 1)^((- 3)/(2))

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso parêntese.

D_t (- 4 * (4 t + 1)^((- 3)/(2))) = - 4 * ((- 3)/(2)) * (4 t + 1)^((- 5)/(2)) * 4

= (48)/(2) * (4 t + 1)^((- 5)/(2))

= 24 * (4 t + 1)^((- 5)/(2))

= (24)/((4 t + 1)^((5)/(2))) = (24)/(sqrt((4 t + 1)^5))

Passo 5

Prontinho, fizemos as três derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 3 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

D_t^3 (sqrt(4 t + 1)) = (24)/(sqrt((4 t + 1)^5))

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