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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 8j

Estude a variação de sinal de f ( x ) .

f (x) = (3 x - 1)/(x^2 + 1)

Passo 1

Nesse caso, temos um quoticente de dois polinômios.

Vamos primeiro avaliar o denominador que deve ser diferente de zero, já que não existe divisão por zero:

x^2 + 1 != 0

x^2 != - 1

Pela inequação vemos que o quadado de um número qualquer deve ser diferente de um número negativo ( - 1 ), assim podemos escolher qualquer número real para x visto que o quadrado de qualquer número real é sempre positivo, ou seja, x^2 + 1 não possui raizes reais e é sempre positivo.

Passo 2

Assim, a raiz da função é:

f (x) = 0

(3 x - 1)/(x^2 + 1) = 0

3 x - 1 = 0

3 x = 1

x = (1)/(3)

Passo 3

Assim, podemos construir uma tabela analisando o sinal de cada termo da função e a respectiva divisão dos termos que gera f (x) :

Assim, temos que:

f (x) > 0 para x in ((1)/(3) , + oo)

f (x) < 0 para x in (- oo , (1)/(3))

Resposta

f (x) > 0 para x in ((1)/(3) , + oo)

f (x) < 0 para x in (- oo , (1)/(3))

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