Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = 2 s e n   3 x . Vejamos que, dentro do intervalo informado [ - π 3 , π 3 ] , x = 0 é a única raiz.

Passo 2

Calculando f ' x utilizando a regra da cadeia, teremos:

u v ' = u ' v . v ' → f ' x = 2 . cos ⁡ 3 x . 3 → f ' x = 6 cos ⁡ 3 x

No intervalo indicado, - π ≤ 3 x ≤ π ,   a derivada varia entre - 6 ≤ f ´ ( x ) ≤ 6 . Então, teremos o seguinte:

Passo 3

Calculando f ' ' x utilizando novamente a regra da cadeia, teremos:

f ' ' x = 6 . - s e n 3 x . 3 → f ' ' x = - 18 s e n   3 x

Pela tabela acima,

f ' ' - π 6 > 0 → p o n t o   d e   m í n i m o

f ' ' π 6 < 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

Passo 4

Passo 5

Utilizando os dados da tabela e calculando alguns pontos, teremos:

Passo 6

Vejamos que, verificando os extremos do domínio da função, f - π 3 = 0   e   f π 3 = 0 . Assim, f π 6 = 2 é um máximo absoluto. E além disso, f - π 6 = - 2 , ou seja, - 2 é um valor de mínimo absoluto.

Resposta

Gráfico:

E os valores de máximo e mínimo absoluto são, respectivamente, 2   q u a n d o   x = π 6   e - 2   q u a n d o   x = - π 6 .

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