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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 77

Calcule a integral definida.

int_(sqrt(3) // 3)^1 (2 x^2 - 2 x + 1)/(x^3 + x) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para resolver essa integral teremos que usar frações parciais:

(2 x^2 - 2 x + 1)/(x^3 + x) = (2 x^2 - 2 x + 1)/(x ( x^2 + 1 )) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 1)

Assim,

A (x^2 + 1) + x (B x + C) = 2 x^2 - 2 x + 1

Logo,

{[[A + B = 2],[C = - 2],[A = 1]])

Assim, temos que A = 1 , B = 1 e C = - 2 :

I = int_(sqrt(3) // 3)^1 (2 x^2 - 2 x + 1)/(x^3 + x) d x = int_(sqrt(3) // 3)^1 ((1)/(x) + (x - 2)/(x^2 + 1)) d x

Passo 2

Podemos quebrar a integral em três:

I = ln 1 - ln (sqrt(3))/(3) + int_(sqrt(3) // 3)^1 (x)/(x^2 + 1) d x - 2 int_(sqrt(3) // 3)^1 (1)/(x^2 + 1) d x

Assim,

I = ln sqrt(3) + I_1 - 2 I_2 ,

onde

I_1 = int_(sqrt(3) // 3)^1 (x)/(x^2 + 1) d x e I_2 = int_(sqrt(3) // 3)^1 (1)/(x^2 + 1) d x

Passo 3

Para calcular I_1 vamos fazer a substituição u = x^2 + 1 . Assim, d u = 2 x d x . Quando x = sqrt(3) // 3 , temos u = 4 // 3 e para x = 1 => u = 2 :

I_1 = (1)/(2) int_(4 // 3)^2 (1)/(u) d u = (1)/(2) (ln 2 - ln (4)/(3)) = (1)/(2) ln (3)/(2)

Já para I_2 basta lembrar que a primitiva é arco tangente:

I_2 = arctan 1 - arctan (sqrt(3))/(3) = (pi)/(4) - (pi)/(6) = (2 pi)/(24) = (pi)/(12)

Passo 4

Assim, podemos calcular I :

I = ln sqrt(3) + I_1 - 2 I_2 = ln sqrt(3) + (1)/(2) ln (3)/(2) - 2 * (pi)/(12)

Portanto,

I = ln sqrt(3) + ln sqrt(3) - ln sqrt(2) - (pi)/(6)

Logo,

I = ln (3)/(sqrt(2)) - (pi)/(6)

Resposta

ln (3)/(sqrt(2)) - (pi)/(6)

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