Calcule a integral definida.

∫ 3 / 3 1 2 x 2 - 2 x + 1 x 3 + x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para resolver essa integral teremos que usar frações parciais:

2 x 2 - 2 x + 1 x 3 + x = 2 x 2 - 2 x + 1 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1

Assim,

A x 2 + 1 + x B x + C = 2 x 2 - 2 x + 1

Logo,

A + B = 2 C = - 2 A = 1

Assim, temos que A = 1 , B = 1 e C = - 2 :

I = ∫ 3 / 3 1 2 x 2 - 2 x + 1 x 3 + x   d x = ∫ 3 / 3 1 1 x + x - 2 x 2 + 1   d x

Passo 2

Podemos quebrar a integral em três:

I = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 3 3 + ∫ 3 / 3 1 x x 2 + 1 d x - 2 ∫ 3 / 3 1 1 x 2 + 1   d x

Assim,

I = ln ⁡ 3 + I 1 - 2 I 2 ,

onde

I 1 = ∫ 3 / 3 1 x x 2 + 1 d x       e           I 2 = ∫ 3 / 3 1 1 x 2 + 1   d x

Passo 3

Para calcular I 1 vamos fazer a substituição u = x 2 + 1 . Assim, d u = 2 x   d x . Quando x = 3 / 3 , temos u = 4 / 3 e para x = 1 ⇒ u = 2 :

I 1 = 1 2 ∫ 4 / 3 2 1 u   d u = 1 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 4 3 = 1 2 ln ⁡ 3 2

Já para I 2 basta lembrar que a primitiva é arco tangente:

I 2 = arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 3 3 = π 4 - π 6 = 2 π 24 = π 12

Passo 4

Assim, podemos calcular I :

I = ln ⁡ 3 + I 1 - 2 I 2 = ln ⁡ 3 + 1 2 ln ⁡ 3 2 - 2 ⋅ π 12

Portanto,

I = ln ⁡ 3 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 - π 6

Logo,

I = ln ⁡ 3 2 - π 6

Resposta

ln ⁡ 3 2 - π 6

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