Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 5c
Nos exercícios de 2 a 15 :
- Determine os traços
- Determine as seções
- Identifique a superfície quadrica
- Esboce os gráficos
5.
Passo 1
Oii, neste capitulo vamos usar tudo o que sabemos de Geometria Analitica. Vamos arregaçar as mangas e rabiscar bastante no caderno. Vamos lembrar de algumas coisas basicas. Podemos expressar formar geometricas atraves de equações matematicas. E cada equação, mesmo que mude apenas um sinal de + ou – , vai nos dizer um comportamento geometrico diferente. POr exemplo temos essas equações
Parábola
Circulo
Agora se colocarmos um fator multiplicando x ou y esse circulo vai se achatar ficando oval. Chamamos isso de elipse. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos
Ou,
Onde no segundo caso vemos de forma mais clara os raios de x e y. O raio de será e o raio de será .
Agora, se trocarmos o sinal da equação geral da elispse, obtemos uma hiperbole. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos
Ou,
É interessante notar que se botarmos num mesmo plano as equações
e
Vemos o seguinte resultado
É como se o sinal forçasse a concavidade das curvas virar para dentro ou para fora. Para dentro elas se unem numa elipse e para fora as curvas explodem para infinito dando forma as hiperboles.
Passo 2
Vimos nos exercícios anteriores que nossa quadrica
Se olharmos pra cada plano coordenado veríamos as seguintes curvas
Plano XY, o que nos da
Que é uma equação de uma hipérbole.
Plano ZY, o que nos da
O que não forma imagem. Afinal não tem como dois números negativos subtraídos ter como resultado um numero positivo. OU de outra maneira
Do lado esquerdo temos uma equação de elipse. E não tem como elipse ter raio negativo. Então não forma imagem no plano ZY.
Já no plano XZ temos que
Que é uma equação de hipérbole.
Passo 3
E também vimos que as curvas de nível dessa quadrica nos dão o seguinte formato
Logo podemos notar que temos em mãos um hiperboloide. E como há essa vazio no meio, as duas partes desse hiperboloide são desconectadas. Com isso podemos afirmar que essa quadrica é um hiperboloide de duas folhas
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Hiperboloide de duas folhas