Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 6a
Nos exercícios de 2 a 15 :
- Determine os traços
- Determine as seções
- Identifique a superfície quadrica
- Esboce os gráficos
6.
Passo 1
Oii, neste capitulo vamos usar tudo o que sabemos de Geometria Analitica. Vamos arregaçar as mangas e rabiscar bastante no caderno. Vamos lembrar de algumas coisas basicas. Podemos expressar formar geometricas atraves de equações matematicas. E cada equação, mesmo que mude apenas um sinal de + ou – , vai nos dizer um comportamento geometrico diferente. POr exemplo temos essas equações
Parábola
Circulo
Agora se colocarmos um fator multiplicando x ou y esse circulo vai se achatar ficando oval. Chamamos isso de elipse. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos
Ou,
Onde no segundo caso vemos de forma mais clara os raios de x e y. O raio de será e o raio de será .
Agora, se trocarmos o sinal da equação geral da elispse, obtemos uma hiperbole. Voce pode encontrar essa forma sob os seguintes formatos
Ou,
É interessante notar que se botarmos num mesmo plano as equações
e
Vemos o seguinte resultado
É como se o sinal forçasse a concavidade das curvas virar para dentro ou para fora. Para dentro elas se unem numa elipse e para fora as curvas explodem para infinito dando forma as hiperboles.
Passo 2
Quando o exercício pede traços ele quer que vejamos as imagens dessa função quadrica nos 3 planos coordenados : XY , XZ ,YZ. E com isso a gente conseguir formar imagens mais nítidas de como nossa quadrica deve ser. Vamos cair dentro então
No plano XY temos que então nossa quadrica
Fica
Que é um ponto no (0,0)
No plano XZ temos que
Ou seja temos um par de retas
JÁ no plano YZ , temos que
Que também é um par de retas. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
No plano XY temos que
Que é um ponto no (0,0)
No plano XZ temos que
Ou seja temos um par de retas
JÁ no plano YZ , temos que
Ou seja temos um par de retas