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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 2b

Considere a superfície S , união de S 1 e S 2 , onde S 1 tem equação x 2 + y 2 = 4 com 0 ≤ z ≤ 2 , e S 2 é o gráfico da função z = x 2 + y 2 definida no conjunto D , onde D = x ,   y ∈ R 2   |   4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 .

a Esboce a superfície S 1 .

b Esboce a superfície S 2 .

c Esboce a superfície S .

Passo 1

Assim como a primeira parte do exercício, a superfície S 2 também possui uma superfície circular devido a sua equação ser dada por:

z = x 2 + y 2

Ou ainda:

x 2 + y 2 = z 2

No entanto, há uma leve diferença. Pelo fato de ela possui um domínio tal que o valor de x 2 + y 2 varia, isso significa que o valor de z e, consequentemente, o valor do raio desse círculo também irão mudar.

Passo 2

Portanto, pegando o domínio, podemos concluir que a superfície será limitada por dois círculos de equações:

x 2 + y 2 = 4

E:

x 2 + y 2 = 25

Ou seja, ela será limitada por um círculo superior de raio 5 e outro inferior de raio 2 .

Passo 3

Logo, se fizermos o esboço disso em uma visão tridimensional, teremos:

Para uma melhor noção da forma que ela possui, vamos esboçar a vista lateral dela no plano y z :

Resposta

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Dar a fronteira dos seguintes subconjuntos do R 2 . Representar graficamente. A = x , y ∈ R 2 x 2 + y 24
Identificar as afirmações verdadeiras:e) O conjunto B = { ( x ,y ) | x 2y 2 } é conexo.
Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio. x 2 + y 2 + z2
Identificar as afirmações verdadeiras:d) O conjunto A = { ( x ,y ) | x 2 + 2 x + y 2 - 4 y0 } é conexo.
Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio. x 2 + y 2 + 2 xx - 1 2 + y - 2 2