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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 13

Nos Exercícios de 1 a 16, encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

13 )   g x = 2 . s e n   3 x ;     x ∈ [ - π , π ]  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

g x = 2 . s e n   3 x

g ' x = 0 . s e n   3 x + 2.3 . cos ⁡ 3 x = 6 cos ⁡ 3 x

g ' ' x =   0 . cos ⁡ 3 x + 6.3 . - s e n   3 x = - 18 . s e n   3 x

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por g ' ' x = 0 .

Passo 2

Igualando g ' ' x = 0 :

- 18 . s e n   3 x = 0

Para que a função seno seja igual a 0:

3 x = 0 → x = 0

Ou

3 x = π → x = π 3

3 x = - π → x = - π 3    

Como a função é periódica:

x = 2 π 3       o u       x = - 2 π 3

Para determinar se existe ou não um ponto de inflexão nestes pontos, precisamos verificar se g ' ' x muda de sinal.

Sendo assim, x = 0 ,     x = π 3 ,   x = - π 3 ,     x = 2 π 3   e     x = - 2 π 3 são pontos de inflexão.

Desenhando o gráfico da função e traçando as retas tangentes aos pontos de inflexão:

Resposta

Pontos de inflexão: x = 0 ,     x = π 3 ,   x = - π 3 ,     x = 2 π 3   e     x = - 2 π 3 .

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